Checa este artículo y descubre el método de bisección

Si estás en tren de descubrir nuevas fórmulas para el análisis matemático, si el mundo de los números es lo tuyo… no te puedes perder este post. Aquí hablamos a fondo sobre el método de bisección: ¿en qué consiste? ¿A qué tipo de operaciones de cálculo se aplica? ¿Cómo se utiliza en la vida cotidiana o para resolver problemas matemáticos de diversa naturaleza? Te damos todas las respuestas.

No te muevas de la pantalla y quédate con nosotros, los mejores de la web si se trata de métodos, no solo provenientes del mundo del Álgebra, la Trigonometría, la Geometría y el Cálculo, sino de muchas otras disciplinas del conocimiento. Apuntamos a que tengas saberes generales acerca de diversos métodos como técnica de investigación científica, estudio, descubrimiento y resolución de enigmas. Nada mal ¿verdad?

Por otro lado, pretendemos poner a tu disposición datos confiables y certeros, para que estés tranquilo de que cuentas realmente con el asesoramiento indicado. Nuestros enlaces han sido 100% analizados, lo mismo que la bibliografía, para que tengas información a la altura de tus expectativas.

Ahora sí: ¿qué es el método de bisección y cómo se utiliza? Descúbrelo en el próximo apartado y los siguientes. Te sorprenderá lo simple que resulta aplicarlo y las maneras en que puede ayudarte a resolver diversos planteos de corte matemático. Sin dudas, saber más de este tema ampliará muchísimo tus conocimientos y aumentará la velocidad con que obtienes cualquier resultado de una expresión o ecuación.

Qué es el método de bisección

Como anticipamos en la sección anterior, lo primero que debemos hacer es intentar responder esta pregunta. También llamado “Teorema de Bolzano”, sirve para detectar una raíz real dentro de un intervalo de una determinada ecuación. En realidad es bastante sencillo de entender, aunque el proceso dependerá de la exactitud del resultado que se pretenda alcanzar.

Mientras más exacto deba ser el resultado esperado, mayor cantidad de cálculos es preciso hacer. No obstante no te alarmes, pues el método de bisección no es tan complejo como parece. De hecho, es la vía más práctica para encontrar solución a ecuaciones de tipo algebraico y trascendente, como así también un excelente complemento del conocido método gráfico.

Pero expliquemos en qué casos se debe aplicar, concretamente, el teorema de Bolzano. Este procedimiento postula las condiciones necesarias para que exista, por lo menos, un 0 en una función continua. De acuerdo con la técnica, si f (x) resulta continua dentro del intervalo [a, b], con f (a)∙ f (b) <0 (menor a cero), entonces podemos deducir que como mínimo existe al menos un c ∈] a, b [ tal que f(c) = 0.

Vamos a desenredar este postulado. El método de bisección sostiene que si te encuentras frente a una función real continua (del tipo y = f (x) ) dentro del intervalo [a, b], en el cual el signo de la función en el punto “a” difiere del signo que se presenta en el punto “b” del mismo intervalo, entonces se supone que como mínimo va a darse un c ∈ [a, b], de modo que f (c)=0, resultado que muestra la raíz buscada.

Hasta aquí hemos explicado brevemente el método de bisección; si lo has entendido, no dejes de checar esta serie de ejercicios (vienen con respuestas incluidas) para verificar que ha sido así. No hay mejor manera de comprobar que has incorporado un saber que poniéndolo a prueba en la práctica.

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Pasos del método de bisección

Sabemos que hablar de puras teorías sin mostrar la aplicación concreta de un método en particular, resulta en vano. Es así como en el presente apartado te mostraremos de qué forma aplicar el método de bisección paso a paso. Si cumples concienzudamente con cada una de estas etapas, seguramente lograrás llegar a un resultado preciso.

1. Supón que te encuentras delante de una ecuación del tipo f (x) = 0.
2. Para establecer cuál es la raíz existente en el intervalo [a, b], divide dicho intervalo al medio y nombra como “m” al punto en el que m = a + b2.
3. Ten en cuenta estas posibilidades:

• Si la función f (m) = 0, quiere decir que m es la raíz que querías encontrar.
• Si las funciones f (a) y f (m) presentan signos distintos, entonces la raíz a buscar se localiza en el intervalo [a, m].
• Si las funciones f (m) y f (b) muestran signos distintos, quiere decir que la raíz buscada está en el intervalo [m, b].

4. Divide al medio el nuevo intervalo que ya posee la raíz y aplica el mismo procedimiento que ya vimos.
5. Al avanzar con tal proceso, establece que la raíz se halla en un intervalo tan breve como quieras y así obtendrás una aproximación de la raíz que quieres encontrar.
6. Fíjate en que irás calculando una serie de intervalos más y más pequeños. Los mismos tomarán la forma [a1, b1], [a2, b2]… [an, bn], y así sucesivamente; de modo que f (an)∙ f ( bn)→ 0, y así bn−an = 12n (b−a).
7. Los puntos extremos del intervalo (a1, a2, etc.) formarán una sucesión progresiva, mientras que a su vez los puntos b1, b2, etc. formarán una sucesión decreciente. En ambos casos el proceso está acotado por el límite (igual para los dos) que representa la raíz buscada.
8. Puedes seguir con este procedimiento hasta llegar a |bn−an| < ∈, lo cual sirve para un valor ∈ ya determinado. Aquí se hace evidente que la aplicación del método de bisección otorga la precisión que hace falta para encontrar una raíz bien definida.

Hasta aquí hemos consignado los pasos esenciales para aplicar la técnica de resolución que nos ocupa; no obstante, es necesario apuntar que también se debe utilizar otro teorema que determinará la cota de error (el mínimo error esperado) en el cálculo del método.

Si tienes la función continua f(x) en el intervalo [a, b], de tal modo que f (a) ∙ f (b) <0, el método de bisección provoca una sucesión del tipo {pn}, convergente a una raíz p de forma que |pn−p| ≤ b − a2n,  n≥1. En este caso, la determinación de la máxima cantidad de iteraciones requiere la aplicación de una fórmula como b − a2n < ε.

Una vez que hayas aplicado todos los pasos y obtenido la respuesta que querías, te aconsejamos graficar la ecuación por medio de un graficador online de funciones. Se trata de una herramienta totalmente gratis y muy rápida, que te permitirá obtener una versión visual de la expresión matemática que estás calculando.

Puedes guardar el resultado en distintos formatos de archivos de imagen o imprimir una copia para anexarla a un trabajo práctico o informe. ¡Resultados prolijos y totalmente garantizados! Hacer tu tarea o encarar un nuevo proyecto de investigación nunca ha sido tan sencillo como ahora.

Ventajas y desventajas del método de bisección

Todos los métodos que el hombre ha desarrollado son eso, técnicas que ha concebido la mente humana y, por ende, cabe en ellas la imperfección. En este sentido, el método de bisección no es infalible y así presenta algunas desventajas que creemos necesario que conozcas. Asimismo, tiene ciertas cualidades que lo hacen elegible frente a otros métodos de resolución de problemas matemáticos.

En fin, queremos mostrarte ambas caras de la moneda para que tú sepas decidir qué es lo que más te conviene hacer a la hora de resolver tus ecuaciones.

Ventajas

• Siempre resulta convergente.
• Resulta óptimo para dar respuesta a una ecuación del tipo f (x) = 0 cuando desconocemos totalmente f, salvo el cálculo de su signo.
• Necesita que f sea de carácter continuo en el intervalo previsto.
• Permite establecer cierto límite de error.
• Es bastante sencillo de implementar.
• Es fácil de aprender y permite dar respuesta a ecuaciones matemáticas simples.

Desventajas

• Converge de forma lenta.
• Brinda la posibilidad de hallar una única raíz aunque halla otras en el intervalo.
• En ocasiones, la delimitación del intervalo primero no es tan sencilla.
• No siempre es evidente el criterio de fin para el procedimiento iterativo.
• No sirve para establecer raíces de naturaleza compleja.
• Es poco generalizable a dimensiones matemáticas mayores.

Ya ves que, en realidad, no todo son rosas en el camino del descubrimiento y aplicación de nuevas fórmulas. Estas pueden dar resultado o no dependiendo de las características y complejidad de la ecuación matemática que pongas en juego. De cualquier manera, creemos que el método de bisección es una técnica asequible para responder incógnitas de ecuaciones lineales sin complicarse tanto la vida.

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